前陣子在分享了一個小測驗給周圍的朋友測，題目如下：
請輸入一個 1~100 的整數，我會將所有參加這個測驗的人輸入的數字加總平均。如果你輸入的數字最接近平均值的 2/3 ，恭喜你贏得這次的小測驗。
舉例來說，如果五個玩家分別填入：10、20、30、40、50，那麼平均是 30 ，乘上 2/3 以後是 20 ，所以猜 20 的人獲勝。
雖然說是小測驗，但實際上是個有趣的賽局。而這個賽局得到的 Payoff 是取決於所有參予的玩家。先來想想理性玩家會怎麼想，一個理性玩家不論什麼時候都會選擇對自己最有利的策略，不會突然想要來亂，或者是各種奇怪的理由，改變他選擇最優勢的策略。
讓我們假設一個極端的例子：
1. 其他玩家每個人都猜 100。那麼平均也是 100，而平均的 2/3 則是 67。所以，理解這個遊戲的 "理性玩家"，不應該會選擇超過 67 的數字。
2. 假設大家都這麼想都會猜 67 以下的數字，平均至多降為 67 了，乘上 2/3 就變成 45 了，我應該多想一步可能猜看看 45 。
另一個例子：
1. 假設每個玩家猜測數字是常態分布，平均應該接近 50，那麼我就猜個 33。
2. 應該也有人這樣想，所以我多想一步，猜個 22。
從上述兩個例子可以得知，不論起始的假設是什麼，最後理性玩家猜測的數字應該收斂到 1。這樣平均的 2/3 仍是 1。大家都是贏家。而 1 這個數字是這個賽局的納許均衡。
但現實生活中，不會這麼順遂總是充滿著理性玩家，所以有些人可能會覺得不需要多猜測這麼多步，在某個數字就先停下來。而經過上述的說明以後，應該可以理解有些數字不應該出現在想贏的玩家的猜測內 (至於是什麼數字就自行思考了)。
先來看結果的統計圖：
這次參加的人數總共 43 人，基本統計數據如下：
最大值：100
最小值：1
中位數：50.5
眾 數：50
平均數：45.97674419
答 案：30.65116279
贏 家：32
贏家是 32 ，很可惜有兩位猜 33 原本應該是最接近的 (要吶喊二獎嗎!?)，直到有一天有人猜 32 XD
分析這次測驗的結果，也可以看到有些特別的數字被選出來，猜測應該是規則不清楚，或者真的純粹來亂的 ( 例如: 87 不能再高了 XD 不是來亂的記得跟我說 )。當然不清楚，或者隨意填寫本來就應該是猜測數字時的考慮因素。這樣的賽局就像是股票，沒有內線，很難知道何時賣會賣在高點，買會買在低點，自己的獲利建立在別人的選擇上。
雖然人數只有 43 人，不過可以看到圖表上面有幾個高點，簡單娛樂分析一下。
1. 猜 1 和 2 的 4 位，不得不說想得非常透徹，馬上直逼納許均衡點。
2. 猜 38 和 56，我其實不確定 56 是不是一個只是想選 56 的數字，然後猜 38 是因為猜到一錠有人猜 56 XD。
3. 猜 47 和 66，也許和我上述的例子一樣是從 100 開始思考的，有一部分多想一步再自己加上一點修正值。
4. 猜 33 和 50，常態分佈的起頭，和有一些人多暗算一步。
雖然人數有點少，但是能夠在圖表上面能夠看到能解釋這種多想幾層的數據，其實蠻有意思的。真是有點好奇做第二次會發生什麼事情。
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